Curso Académico:
2022/23
447 - Graduado en Física
26907 - Álgebra II
Información del Plan Docente
Año académico:
2022/23
Asignatura:
26907 - Álgebra II
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
447 - Graduado en Física
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas
1.1. Objetivos de la asignatura
Nuestro objetivo a lo largo del curso será estudiar un conjunto de herramientas que permiten caracterizar la descripción de estados y operadores de sistemas físicos y las transformaciones que representan los cambios admisibles de sistemas de referencia.
Junto con la asignaturas de Álgebra I, Análisis Matemático y Cálculo diferencial (en el primer año) y las asignaturas de Cálculo integral y geometría, Ecuaciones diferenciales, Métodos Matemáticos de la Física y Física computacional en los posteriores, se pretende dotar al alumnos de las herramientas matemáticas necesarias para la formulación de modelos dinámicos y la obtención de soluciones de los mismos. Dichas herramientas son, además, de enorme utilidad para la descripción de sistemas también no pertenecientes al ámbito de la Física, como puede ser la Economía, la Biología, la Geología, etc.
Objetivos de la asignatura:
O1. Caracterizar las aplicaciones lineales como matrices entendiendo el papel de la elección de la base. Concepto de autovalor y autovector y cálculo de los mismos.
O2. Entender y dominar el concepto de formas canónicas de operadores y de funciones de operadores.
O3. Entender el significado y el papel del producto escalar y de los conceptos de ortogonalidad, bases ortonormales y ortonormalización.
O4. Familiarizarse con las transformaciones definidas sobre espacios vectoriales que preservan productos escalares. Estudio de los ejemplos más relevantes.
Estos planteamientos y objetivos no están alineados con ninguno de los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/).
1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación
La modelización de sistemas físicos recurre con mucha frecuencia a la descripción de los mismos en términos de espacios vectoriales, estando las magnitudes físicas representadas por funciones o operadores lineales sobre ellos. Es pues fundamental el saber determinar los elementos característicos del sistema, como por ejemplo el conjunto de posibles autovalores de un operador cuántico, y las propiedades que deben de verificar los sistemas de referencia usados en su descripción.
1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura
Se recomienda haber cursado la asignatura de Álgebra I
2. Competencias y resultados de aprendizaje
2.1. Competencias
Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...
Calcular valores y vectores propios de matrices y operadores tanto analítica como numéricamente
Determinar la forma canónica de un operador y utilizarla para obtener funciones de éste
Construir bases ortonormales y determinar las componentes de un vector en dichas bases
Conocer las propiedades de los valores y vectores propios de operadores relevantes en física (proyectores, autoadjuntos, hermíticos, simétricos, ortogonales,...)
Expresar los grupos de invariancia de los distintos productos escalares (complejo, real euclídeo, Minkowski) tanto en su versión finita como infinitesimal
2.2. Resultados de aprendizaje
Es capaz de realizar operaciones sencillas con matrices utilizando herramientas numéricas
Puede determinar el polinomio característico y los subespacios propios generalizados de un operador
Sabe obtener la función exponencial de un operador. Aplicarla a la solución de problemas del oscilador
Es capaz de ortonormalizar una base dada mediante el procedimiento de Gram‐Schmidt
Puede relacionar, mediante la función exponencial, las transformaciones unitarias y ortonormales con los operadores hermíticos y simétricos, respectivamente
2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje
La asignatura de Álgebra II es de fundamental importancia para la comprensión de las herramientas empleadas en la solución de los sistemas dinámicos clásicos, y absolutamente necesaria para la comprensión de los conceptos básicos de la mecánica cuántica, que se modelizarán siempre usando los conceptos aquí presentados o sus generalizaciones a dimensión infinita.
3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba
El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación
1) (15% de la nota final) Evaluación continua del aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas, cuestiones y otras actividades propuestas por el profesor de la asignatura. Se incluirán dos tests por Moodle a lo largo del curso.
2) (15% de la nota final) Evaluación de las prácticas con ordenador. Se realizará a través de la evaluación durante las sesiones de prácticas y/o de un examen final específico
3) (70% de la nota final) Realización de una prueba final de teoría y problemas. Según las circunstancias y si los estudiantes están de acuerdo, se podrá organizar una sesión de examen parcial de teoría y problemas, sobre los primeros temas, de forma que los estudiantes que alcancen una nota de 5/10 puedan evitar las preguntas correspondientes a estos temas en el examen final.
Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 tanto en las prácticas con ordenador como en la prueba de teoría y problemas y alcanzar una nota global de 5 sobre 10 para poder superar la asignatura
Superación de la asignatura mediante una prueba global única
En el caso de que el estudiante opte por una prueba global única, las actividades de evaluación serán:
- Evaluación del trabajo en las prácticas con ordenador (15% de la nota final). Se realizará a través de un examen.
- Realización del examen final de teoría y problemas (85% de la nota final).
Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 en ambos los puntos 2 y 3 mencionados arriba y alcanzar una nota global de 5 sobre 10, para poder superar la asignatura.
4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos
4.1. Presentación metodológica general
El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:
Las clases magistrales deben proporcionar al alumno la estructuración de contenidos que luego deben cimentarse con las clases de problemas y prácticas. El trabajo puede proporcionar una mayor profundidad en temas específicos que puedan resultar de especial interés sólo a algunos alumnos. Los ejercicios deben servir también como mecanismo de autoevaluación para el alumno y es por eso que la participación en las clases de problemas se convierte en una herramienta muy importante.
Existen apuntes redactados por el profesor y disponibles en la página web en la plataforma Moodle. Toda la información sobre la asignatura se presenta el primer día de clase, y se proporciona de forma permanente en la página de Moodle de la asignatura.
4.2. Actividades de aprendizaje
Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semi-telemática con aforos reducidos rotatorios.
El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...
La docencia se estructura en 4 horas semanales, en las que se incluyen las sesiones teóricas y las de problemas. Así mismo el curso incluye 4 sesiones de prácticas de ordenador de 2 horas cada una y una sesión introductoria de 2 horas.
En detalle, las actividades docentes incluirán:
- Clases magistrales, que proporcionan los teoremas y demostraciones, organizados en su diseño lógico de acuerdo con el desarrollo del programa.
- Sesiones de ejercicios, para aplicar y consolidar la comprensión teórica mediante ejemplos y problemas relevantes.
- Programación por ordenador de problemas de álgebra lineal, extendiendo el alcance de los ejercicios de clase a los casos en que los cálculos se vuelven demasiado pesados para efectuarlos manualmente (espacios vectoriales de alta dimensión)
- Tests de autoevaluación (opcionales) en la plataforma en línea Moodle, que permite a los estudiantes evaluar su grado de comprensión de los diferentes temas.
4.3. Programa
Capítulo 1. Espacios vectoriales complejos y sus endomorfismos
Capítulo 2: Aplicaciones multilineales
Capítulo 3: Propiedades de endormorfismos
Capítulo 4: Funciones de operadores
Capítulo 5: Espacios vectoriales con producto escalar
Capítulo 6: Endomorfismos sobre espacios vectoriales con producto escalar
4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave
Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos
Las clases magistrales y las sesiones de problemas se realizarán en el período febrero-mayo, de acuerdo al calendario y horario publicado en la página oficial de la Facultad de Ciencias: https://ciencias.unizar.es/calendario-y-horarios . Las sesiones de prácticas con ordenador se desarrollarán a lo largo del semestre.